芒德勃羅：沿著博物學傳統走來
1994年冬天的一個下午，北京中關村五所大樓高等科學科技研究中心報告廳內， 一位年逾70 的大科學家正在作一場關於分形(fractal)的報告。此人戴著一雙寬大的眼鏡，圓滾的“將軍 肚兒”微微向前挺起，頗像複平麵上那個經過渲染的寶葫蘆(指M集)。他拖著濃重的法國口音，用英語自信地講述著分形幾何學的最新進展，這門學科起初幾乎是他一人獨自開創的。他不時 打量一下前排就坐的他的和來自中國科學院理論物理所與北京的眾多非線性科學專家，當然還有 數量更多的研究生們，這些人沒準會成為他的門徒。主講人時而覺得太冷，急忙穿上外套,時而覺得 太熱，又脫掉外套，在半個小時內竟這樣重複了三四次之多。這多少有些奇怪的舉止惹得小聲議論起 來，而負責報告廳空調設備的人員則局促不安地隨著報告人的每次穿脫外套，走向室內兩個高大立式空調前扭動幾下旋扭。
此人便是長期在IBM沃森中心供職、赫赫有名的芒德勃羅(Benoit B.Mandelbrot, 1924- )，那位在多種學科“流浪”了20餘年才得到學界廣泛承認的分形之父，那位 近些年來不斷 得到各種榮譽和獎勵但也到處與同行發生爭執的人物。
他隻是個性有些特別，對中國以及中國人並無惡意。1996年8月他再次來訪中國 參加李政道主持的題為“與複雜”的國際學術研討會。對於中國文化和文字他還有幾分向往，他稱中 國文字個個是圖形，這正合他的幾何學思維方式，隻可惜一個也不認識。據說，經他從中斡旋，他的名著 《大自然的分形幾何學》(The Fractal Geometry of Nature,1982)中 譯本在中國首次印行免收版稅。但遺憾的是，時過多年，譯 本還未麵世。大約9年前就 聽說譯本不久行將出版。(上海遠東出版社1999年出版此書中譯本。)
家庭背景與成長經曆
波努瓦·芒德勃羅1924年11月20日生於波蘭華沙，祖籍是立陶宛猶太人。據一位 語言學家講，在立陶宛語中“Man”讀作“芒”，所以這裏不譯作“曼”。波努瓦的是成衣商，母 親是牙科 。
出於對地緣政治現實的警覺，1936年在他11周歲時舉家遷往巴黎。這也部分是受 其叔父佐列 姆·芒德勃羅伊(Szolem Mandelbrojt,1899-1983)的吸引，當時佐列姆是法國的一位數 學家。佐列姆通過閱讀龐加萊 (Jules-Henri Poincare，1854-1912)和阿達馬(Jacques-Salomon Hadamard,1865-1963)的著作學會法語，他到法國是因為法國是分析的搖 籃。
芒德勃羅的父親很驕傲已經將佐列姆扶養大，佐列姆是父親最小的，比他小 16歲之多。 父親是位很重學問的人，祖上幾代人也都是學者。“事實上家庭裏每個人都像一位學者或者 期望成為一位學者，至少部分是這樣。”［４］的是，許多學者都忍饑挨餓。
芒德勃羅的父親是很實際的人，他發現最好能一個固定職業。他的工作是做 衣服並賣衣服，他並不這個職業，然而他認為：一個學者的獨立性和最好建築在一份具有不同來源的穩定收入基礎之上，特別是這種收入對於世界性大災難不能過分敏感。成衣商這種職 業當然是一 個好的，因為無論什麽時候人們都得穿衣服!
中學時，波努瓦的與科學在班上相當出色。高中後，由於家庭 拮據，加上 他不喜歡大城市，於是在家裏待了一段時間，沒有接著讀高等院校。芒德勃羅解釋說，這段時間裏他“拎著一些破舊而過時的書籍，以他的方式著，自我猜測著許多事情，做 任何事均不 采取理性或者半理性的方式，但這樣卻培養了自己極大的獨立性和自信心”。
當問及一生中何人、何事對他影響最大時，芒德勃羅說，“對我影響最大的是我 的一個叔叔 ［佐列姆］。作為一個傑出的，這位叔叔以矛盾的方式影響著我。對我影響最大的事件則是本世紀的［戰爭］災難，它們不斷影響著我接受正規的教育。我所受到的教育基 本上是渾沌 的。”
“1929年，當時我5歲，我叔叔佐列姆·芒德勃羅伊成為克萊蒙特-弗蘭特 (Clermont-Ferr and)大學的教授。當我13歲時他升任阿達馬的繼承人位置，成為巴黎法蘭西學院勒貝格(Hen ri Leon Lebesgue,1875-1941)的。因此，我總是能夠分享父輩們生活中以及創建新數學過程中的許多事情。阿達馬、勒貝格、蒙泰爾(Paul Montel,1876-1975)及當儒瓦(Arnaud Denjoy,1884-1974)都是關係不太遠的叔伯。當我還是一個小時，就曾學著拚寫高斯的名字，為我叔叔寫的一本書尋找印刷。”
第二次世界大戰爆發了，在納粹到來之前，全家不得不扔掉一切，隻拎了幾隻箱 子，加入難 民潮，從巴黎向南湧到逃難的馬路上。最後到了土湟(Tulle)鎮。芒德勃羅的經曆與另一位渾沌探索者利比查伯(Albert Libchaber，法國物理學家，用小盒中的氦對流實驗 驗證了周期倍 化分岔)相仿。利比查伯是波蘭猶太人的，戰爭中也采取了與芒德勃羅相似的辦法得以幸存。
1944年，芒德勃羅以班級第一名的身分通過了法國著名的“兩校”入學,被 高等師範學校錄取。“我20歲時，盡管完全缺乏正式準備，在盛大的法國考試中卻表現極佳。我叔叔想當然地認為我這個有天賦的侄兒準走他的道路，將來搞數學研究。”這兩校指 “高等師範學校” (Ecole Normale Superieure)和“綜合工科學校”(Ecole Polytec hnique)，名字在今天聽起來，遠比不上我們熟知的一堆大學，但卻是法國最好的大學，也 屬於 世界上最有名氣的大學。當時這兩校每年招生人數極少，考試也出了名地艱難,考試持續一個月之久。芒德勃羅回憶說，當時他的代數與分析基礎並不好，但幾何直覺不錯，考試 時他總是設 法將代數與分析問題化成幾何問題，巧妙地將它們解決，他稱此為合法性“作弊 ”(cheating)。芒氏雖然考得不錯，但他對法國教育中的處處考試、處處打分的表示不 滿，他曾嘲 笑道：“法國想取得國際象棋世界冠軍，最好的辦法也許是在綜合工科學校裏講授國際象棋”。
芒德勃羅與其叔叔佐列姆對數學有完全不同的口味。叔叔佐列姆是一位非常經典 的分析學家 ，而波努瓦·芒德勃羅更傾向於幾何，他稱自己為幾何學家。叔叔佐列姆認為幾何是已死掉的學科，隻對子學數學還有一些意義，人們隻有超越它才能取得天才的學術貢獻。但是 芒德勃羅不 這種觀念，也不喜歡分析學派的那種“高雅”風格。
佐列姆的願望終於落空了。他始終搞不明白小芒德勃羅究竟出了什麽問題，於是 對他做什麽 不再感興趣了。不過，他們還是。叔叔佐列姆對芒德勃羅的工作和生活有很大負麵影響。
早在1914-1918年的時候，芒德勃羅的父親的弟弟佐列姆主修他向往的 領域——化學工程(約翰·馮·諾伊曼的父親也希望兒子學習化工)。1939-1945年風波過後，父親擔心 弟弟的隻 是僥幸，這次讓兒子波努瓦·芒德勃羅將來作一名工程師。“因為我對所謂的 ‘幾何學之死’不以為然，又因為我不喜歡以理科作替代，於是接受了父親的建議，我特別 讓自己離數 學越遠越好。”
由於不喜歡布爾巴基學派(解釋見後文)的數學，芒德勃羅在高等師範學校念了沒 幾天，就轉 到了綜合工科學校。1947年芒德勃羅從法國綜合工科學校畢業。1948年獲美國加州理工大學碩士學位；1952年獲巴黎大學博士學位。隨後幾年他不斷在幾個學科中遊蕩，先後“闖入” 過物理學、 經濟學、生理學、語言學和其他一些似乎毫不相關的學科。他喜歡用“intellec tual wanderer”(有知識的流浪漢)、“wandering around”(遊蕩)等字眼描寫自己的學術 生涯和經 曆。
芒德勃羅的博士學位論文顯示了其從事交叉學科研究的才能。論文分兩部分，第 一部分采用 數學理論研究詞匯中字母的分布規律；第二部分研究熱力學。將不科中的理論有機地組織一起，用於研究某一個特定問題，這代表著芒德勃羅科學研究工作的特色。
到美國後，他最先是作為麻省理工學院的一名研究助理(research associate),1958成為約 克郡高地沃森研究中心(T.J.Waston Research Center，IBM的一個研 究基地)物理部研究人員(staff member)。
芒德勃羅曾在日內瓦大學(1955-1957)，法國裏爾(Lille)大學及綜合工科學校 (1957-1958) 任數學講師。曾任耶魯大學羅賓遜(Abraham Robinson)數學科學副教授，麻省理工學院經濟 學講師和訪 問教授及應用數學訪問教授，哈佛大學經濟學、應用數學與數學訪問教授，耶魯大學工學訪問教授，愛因斯坦醫學院生理學訪問教授，巴黎沙特(Paris-Sud)大學數學訪問 教授。1987年 成為耶魯大學數學教授。
芒德勃羅因創造了原來根本不存在的分形學科而一舉成名。1975年以法文出版《 分形對象： 形、機遇與維數》(Les Objets Fractals:Forme,Hasard et Dimension)，1977年以英文出版《分形：形、機遇與維數》 (Fractals:Form,Chance and Dimension)，1982年出 版《大自然的分形幾何學》。最後一部影響最大，它是分形學科的宣言書， 包羅萬象，顯示 了將分形用於自然現象描述的重要性。到目前為止他一共寫過這三部書，後麵每一部都 是對前一部的修訂和增補，其中相當部分是重寫的。他對自己的專著的描述用詞是：“普及性的 ”、“隨筆 ”(Essay)、“宣言書”、“從頭到尾都是序言”。最後一句是仿達西·湯普森 (D‘Arcy Thompson,1860-1948)，湯普森曾寫過一部巨著《論生長與形式》，但湯氏稱該書 從頭到尾都是 序言。
據初步統計，到1989年底他已經發表了123篇論文，內容極其龐雜，涉及語言學 、概率論、 通訊工程、水利學、經濟理論、金融分析、布朗運動、湍流、複迭代、宇宙學、臨界現象與相變等等。
芒德勃羅不是傳統意義上的數學家、科學家，他的經曆和學術生涯史無前例。 1973年以前， 他一直不被各領域的科學家所認同，“分形理論”誕生後他的“政治”地位(他自己用這樣的詞匯)劇變，成為世界上最有名氣的科學家之一。通過因特網(Internet)，可以很好 地檢驗一個人 的知名度：用萬維網(WWW)瀏覽器打開Yahoo!檢索引擎，輸入“Mandelbrot” 或者“fractal”，幾秒種內便可查到上萬條信息。僅從這一點來看，當今世界還沒有哪位 科學家如此赫 赫有名，即使將他與影視名星放在一起，其知名度也不遜色。
科學界曾兩次為他舉行國際範圍的祝壽活動，並相應出版了祝壽科學論文集。一 次是1989年 在其65歲時，紀念文集以《物理學D》(Physica D，專門刊登非線性科學方麵的論 文)雜誌專號出版(1989年第38卷)，刊登了他的大幅照片及詳細學術經 曆。另一次是1994年 他70大壽(會議拖到1995年舉行)，紀念文集由新加坡的《分形》(Fractals，1991年 創辦的一份關於“大自然複雜幾何的跨學科”學術雜誌)雜誌專號出版(1995年第3卷第3期)。 對一位科學工 作者而言，這是很不享受到的榮譽。
芒德勃羅現為美國藝術與科學院院士，美國國家科學院外籍院士，歐洲藝術、科 學與人文學 院院士。他曾榮獲巴納獎章(F.Barnard Medal,1985)、富蘭克林獎章(Franklin Medal,1986 )和物理學沃爾夫獎(Wolf Prize,1991)，還有其他若 幹獎勵。
芒德勃羅開創的分形理論近年來十分紅火，據阿哈羅尼(Amnon Aharony)和費德 (Jens Feder)1989年對INSPEC數據庫統計，公開發表的分形論文累計數量符合指數規律exp｛(t-1974)/1.74｝， 其中t代表年份，這表明每年論文數量以1.8的因子增加。
博學成就了事業
進入20世紀，各門科學早已揚棄了博物學的傳統，林耐(Carl von Linne,1707-1778) 、萊伊爾(Charles Lyell,1797-1875)和達爾文(Charles Robert Darwin,1809-1882)的時代 一去不複返 了，很難找到某人因采用博物學而取得重大成功，但芒德勃羅是個極大的例外，他是現代科學界最大的博物學家(naturalist)。他十分推崇《論生長與形式》( On Growth and Form)的作者達西·湯普森，這也間接表明他的博物學傾向。
他的思維方式很特別，喜歡幾何是一個特征，此外他更關心數學史和物理學史( 楊振寧、李 政道等大科學家也都十分重視科學史)。多數研究人員總是找最新的學術期刊來閱讀，以便能跟上科學技術日新月異的形勢。而他專門找一些破舊的、沒人翻看的期刊，並且時常注意 一些不起眼 的非核心刊物。這是一個成才策略問題。
芒氏特別重視那些當時非主流的思想，尤其是那些被稱作“病態的”、“反直覺 的”的 。“醫生和律師用各種‘病例集’和‘案例集’來稱呼有一個共同題目的實際病例和案例的匯編。而科學上尚無相應的專門名詞，因此我建議也應用‘範例集’這個名詞。重要的範例 需倍加注意 ，而稍次的也應給予評述：通常可利用先例而縮短討論。”［２］因此諸 如現在人們熟悉的康托爾 (Georg Ferdinand Philip Cantor,1845-1918)三分集、外爾斯特 拉斯(Karl Theodor Wilhelm Weierstrass,1815-1897)不可微曲線、可充滿正方形區域的皮 亞諾(Giuseppe Peano,1859-1932)曲線、 謝爾賓斯基(Waclaw Sierpinski,1882-1969)地毯 與海綿、柯赫(H.von Koch,1870-1924)雪花曲線等等，都被他視為珍寶。而 這些一直被正統 科學視為少數的反例，隻是在教學過程中作為一種邏輯可能性偶而提到。在分形如此流 行的今天，本文沒有必要一個一個地仔細講述這些“怪物”(芒氏視其為“寶貝”)的具體性質， 從任何一本 關於分形的書中都可以容易找到一些例子。
芒氏把世人的想法正好顛倒過來，他認為視為怪物的東西恰恰是最普通的類 型；別人視 為想當然的無比的點、線、麵、體卻是例外。長期的觀察、收集與總結，使芒德勃羅獲得這樣一個印象：除了光滑的歐氏幾何(廣義的，泛指分形幾何以外的標準幾何)以外，應該 還有一種不 光滑的幾何，這種幾何更適於描寫大自然的本來麵目。
在其代表著《大自然的分形幾何學》中，芒德勃羅如是說：“為什麽幾何學常常 被說成是‘ 冷酷無情’和‘枯燥乏味’的?原因之一在於它無力描寫雲彩、山嶺、海岸線或樹木的形狀。雲彩不是球體，山嶺不是錐體，海岸線不是圓周，樹皮並不光滑，閃電更不是沿著直線傳 播的。更為 一般地，我要指出，自然界的許多圖樣是如此地不規則和支離破碎，以致與歐幾裏得(幾何)──本書中用這個術語來稱呼所有標準的幾何學——相比，自然界不隻具有較高 程度的複雜 性，而且擁有完全不同層次上的複雜度。自然界圖樣的長度，在不同標度下的數目，在所有實際情況下都是無限的。這些圖樣的存在，激勵著我們去探索那些被歐幾裏得擱 置在一邊， 被認為是‘無形狀可言的’形狀，去研究“無定形”的形態學。然而數學家蔑視這種挑戰，他們想出種種與我們看得見或到的任何東西都無關的理論，卻回避從大自然 提出的問題 。”
芒氏認為，分形幾何學並非20世紀數學的直接“應用”。它是數學危機的一個晚 產的新領域 ，這個危機從雷蒙德(duBois Reymond)1875首次報告外爾斯特拉斯構造的處處連續而不可微 函數就已了。這次危機大約延續到 1925年，主要的演員是康托爾、皮亞諾、勒貝格和 豪斯多夫(Flix Hausdorff,1868-1942)。這些天才們的工作的影響，遠遠超出了原定的範圍 。他們及其幾代後繼者都不 ，在他們那些十分返樸歸真的創造後麵，有著一個趣味盎然的世界。
海岸線：最容易說明的分形
巴塞羅斯(Anthony Barcellos)采訪芒德勃羅時問他：“分形實例中你最喜歡哪 一個?”芒氏脫口而出：“當然是海岸線例子”。隨即他又補充說還有“血管分形結構”以 及“自平方龍”(複 迭代中的一個例子)等例子。他風趣地講，實際上他不知道最喜歡哪一個，所有那些分形模型都好比他的孩子，他都喜歡，作為父親因為所有孩子而驕傲，所有孩子 都為這個分 形之家添了光彩。“一個人可以因為不同的愛不同的孩子，但他不可能有真正絕對的偏愛。”
不管怎麽說，海岸線例子還是最容易說清楚的分形實例，芒氏到處演講，也總是 提起它，在 兩部專著中也把海岸線問題放在前頭講述。
1967年芒氏在美國的《科學》雜誌上發表長度為兩頁多一點的報告《英國海岸線 有多長?統 計自相似與分數維》，列出分維公式D=-logN/logr(N)，說明海岸線是一種無標度對象，用不同刻度的“尺子”去測量此類現象，可以得到完全不同的長度 。實際 上可以說海岸線有任意長度、無窮長度(當然從物理上看，無標度區間總有一個下限，在原子層次就不能再談“海岸線”問題了)。這時候“長度”就不是一個特別合適 的物理量了，它 顯得有點不“客觀”，而分維D則是一個很好的特征量。
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